AV1 - Cálculo Diferencial e Integral IV [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) A série de Taylor é uma ferramenta poderosa para aproximar funções em torno de um ponto, sendo amplamente utilizada na resolução de problemas em cálculo, física e engenharia.

Determine a série de Taylor da função f(x) = ex centrada em x = 0, até o termo de ordem 3.

Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto:

---

Alternativas:

• a)

  .

• b)

  .

  
  
• c)

  .

• d)

  .

• e)

  .

2)

Sistemas não homogêneos podem ser resolvidos usando o método de autovalores para a solução complementar, em conjunto com uma solução particular obtida por substituição ou coeficientes indeterminados.

Resolva o sistema X’ = AX + b, onde:

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  .

  
  
• b)

  .

• c)

  .

• d)

  .

• e)

  .

3)

Os autovalores e autovetores de uma matriz são essenciais na análise de transformações lineares e resolução de sistemas de equações diferenciais.

Encontre os autovalores da matriz:

Em seguida, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  λ1 = 3 e λ2 = 1.

  
  
• b)

  λ1 = 2 e λ2 = -2.

• c)

  λ1 = 1 e λ2 = -1.

• d)

  λ1 = 4 e λ2 = 0.

• e)

  λ1 = 3 e λ2 = -1.

4)

A série de Fourier é uma técnica que permite representar funções periódicas como uma soma infinita de senos e cossenos, facilitando a análise de sinais.

Encontre os primeiros dois coeficientes da série de Fourier de f(x) = x no intervalo [-π,π].

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  a0 = 0, a1 = -π.

• b)

  a0 = π, b1 = 2.

• c)

  a0 = 0, b1 = 2.

  
  
• d)

  a0 = π, b1 = π.

• e)

  a0 = 0, b1 = π.

5)

Para resolver sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos, utilizamos autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Resolva o sistema homogêneo X’ = AX, onde:

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  .

• b)

  .
• c)

  .

• d)

  .

• e)

  .

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AV2 - Métodos Matemáticos [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) As medidas de tendência central, como média, mediana e moda, são fundamentais na análise de dados, pois ajudam a compreender o comportamento central de um conjunto de valores.

Nesse contexto, considere o seguinte conjunto de dados: 4, 8, 6, 10, 6.

Qual é a mediana desse conjunto?

---

Alternativas:

• a)

  4.

• b)

  6.

• c)

  7.

• d)

  8.

• e)

  10.

2)

As medidas de dispersão, como variância e desvio padrão, quantificam a variabilidade dos dados e são úteis para entender a consistência dos valores em torno de uma medida central.

Para o conjunto de dados {2, 4, 6, 8, 10}, qual é o desvio padrão?

---

Alternativas:

• a)

  1.8.

• b)

  2.0.

• c)

  2.8.

• d)

  3.1.

• e)

  3.6.

3)

Testes de hipótese são usados para verificar afirmações sobre parâmetros populacionais com base em amostras, sendo uma ferramenta indispensável em estudos quantitativos.

Uma máquina envasadora tem média conhecida de 500 ml e desvio padrão de 5 ml. Para uma amostra de 36 medições com média de 498 ml, teste ao nível de significância de 5% se a máquina está calibrada corretamente e assinale a alternativa correta a respeito do resultado do teste de hipótese.

---

Alternativas:

• a)

  Rejeitar H0 porque Z < -1.96.

• b)

  Não rejeitar H0 porque Z > -1.96.

• c)

  Rejeitar H0 porque Z = -2.00.

• d)

  Não rejeitar H0 porque Z = 1.96.

• e)

  Não rejeitar H0 porque Z = -2.40.

4)

A distribuição binomial modela situações com dois resultados possíveis (sucesso ou falha) em experimentos repetidos de forma independente.

Um dispositivo tem 80% de chance de funcionar corretamente em cada teste. Qual a probabilidade de que funcione 4 vezes em 5 testes?

---

Alternativas:

• a)

  0.2048.

• b)

  0.3276.

• c)

  0.4096.

• d)

  0.4912.

• e)

  0.8192.

5)

A probabilidade condicional considera a ocorrência de um evento dado que outro já aconteceu, sendo essencial em cenários de dependência estatística.

Em uma urna com 3 bolas vermelhas e 2 bolas azuis, qual a probabilidade de retirar uma bola azul, dado que a primeira bola retirada foi azul (sem reposição)?

---

Alternativas:

• a)

  1/10.

• b)

  2/5.

• c)

  1/4.

• d)

  1/2.

• e)

  1/3.

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AV1 - Métodos Matemáticos [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

 

1) Em muitas aplicações de engenharia, sistemas lineares modelam problemas como redes elétricas, estruturas mecânicas e fluxos de fluidos. Resolver sistemas lineares requer técnicas adequadas para garantir eficiência e precisão.

Considere o seguinte sistema linear:

Qual é a solução desse sistema?

---

Alternativas:

• a)

  x = 1, y = -2 e z = 3.

• b)

  x = 2, y = 0 e z = 1.

  
  
• c)

  x = 3, y = 2 e z = -4.

• d)

  x = -1, y = 0 e z = 5.

• e)

  x = 0, y = -1 e z = 2.

2)

Transformações lineares são amplamente utilizadas em gráficos computacionais e na análise de dados para alterações como rotações, escalamentos e translações.

Seja T: R2→R2 dada por T(x, y) = (2x + y, x - 3y).

Qual é a imagem do vetor v = (1, 2) sob a ação de T?

---

Alternativas:

• a)

  (4, -5).

  
  
• b)

  (3, -7).

• c)

  (2, -1).

• d)

  (5, -4).

• e)

  (0, 3).

3)

A regra dos trapézios é um método numérico amplamente utilizado para calcular integrais aproximadas, aplicável em problemas com funções contínuas.

Use a regra dos trapézios para calcular a integral aproximada de f(x) = x2 no intervalo [0, 2], com 4 subintervalos.

Assinale a alternativa que indica o resultado obtido por meio do método descrito:

---

Alternativas:

• a)

  2.00.

• b)

  2.25.

• c)

  2.75.

  
  
• d)

  3.15.

• e)

  3.50.

4)

A interpolação polinomial é crucial na aproximação de funções a partir de conjuntos discretos de dados, especialmente no ajuste de curvas.

Usando a forma de Lagrange, encontre o polinômio interpolador para os pontos (1, 2), (2, 3), (3, 5).

Assinale a alternativa que indica a expressão correta do polinômio interpolador encontrado:

---

Alternativas:

• a)

  P(x) = x2 – x + 1.

• b)

  P(x) = 0.5x2 - 0.5x + 2.

  
  
• c)

  P(x) = x2 + x - 2.

• d)

  P(x) = 0.5x2 + 1.5x - 1.

• e)

  P(x) = x2 – 0.5x + 2.

5)

O método de Newton-Raphson é usado para encontrar raízes de equações de forma rápida, sendo uma técnica iterativa e com ampla aplicação em problemas de engenharia.

Determine uma aproximação da raiz da função f(x) = x2 - 4x + 3 após duas iterações do método de Newton-Raphson, começando com x0 = 2.5.

Agora, assinale a alternativa que indica o resultado encontrado na segunda iteração:

---

Alternativas:

• a)

  1.875.

• b)

  2.125.

• c)

  2.167.

• d)

  3.025.

  
  
• e)

  3.250.

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