Considere a integral
, e responda o que se pede:
a) Ilustre a região cuja área é representada por, à mão, ou utilizando algum software à sua escolha.
b) Resolva a integral definida , utilizando as propriedades da integração.
A integração por substituição pode ser entendida como o inverso da regra da cadeia para derivadas. Isto significa que, por meio dela, podemos integrar funções compostas.
Utilizando a integração por substituição, calcule ∫ 2x sen (x²) dx.
Lembre-se de demonstrar todo o passo a passo!
Com base no esquema de laje disposto na Figura 1, preencha a Tabela 1 com os respectivos valores. Adotar:
p = 10 kN/m (Carga distribuída uniforme para todas as lajes);
c = 2,5 cm (Cobrimento para todas as lajes).
Verifique os coeficientes e formulações conforme o arquivo em anexo (Tabelas de apoio em ANEXO). Lembrando que Lx sempre será a menor dimensão da laje e Ly a maior dimensão.
Figura 1 - Disposição das lajes
Tabela 1 - Tabela de resultados
ANEXO - Tabelas com os coeficientes e formulações para os cálculos dos momentos.
Tabela 2 - Classificação de borda de lajes para momentos fletores (1 até 2B)
1) A integral de linha permite calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva, além de determinar o fluxo de um campo vetorial.
Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (2x, y) ao longo da curva C, que é o segmento de reta de (1, 0) até (3, 2).
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto.
Alternativas:
4.
6.
8.
10.
12.
As integrais de superfície possibilitam calcular o fluxo de campos vetoriais através de superfícies no espaço tridimensional.
Calcule a integral de superfície
onde F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) e S é a superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4, orientada para fora, utilizando o teorema da Divergência.
Agora, assinale a alternativa com o resultado correto:
Alternativas:
16π.
32π.
48π.
64π.
96π.
O rotacional quantifica a tendência de rotação de um campo vetorial, enquanto a divergência expressa a intensidade de suas fontes e sumidouros.
Seja F(x, y, z) = (y, z, x). Determine o rotacional associado ao campo vetorial F e assinale a alternativa que indica o resultado correto.
Alternativas:
(0, x, y).
(-1, -1, -1).
(-y, -x, 0).
(z, y, x).
(1, z, x).
Teorema de Green estabelece uma relação entre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada e a integral dupla do rotacional — ou da divergência, conforme o contexto — sobre a região por ela delimitada.
Use o Teorema de Green para calcular
onde C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1), orientado no sentido anti-horário.
Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto.
Alternativas:
-1.
-2.
0.
1.
2.
A integral de superfície é utilizada para calcular o fluxo de campos vetoriais ou para acumular valores distribuídos sobre superfícies no espaço tridimensional. Pela definição, resolvemos esse tipo de integral parametrizando a superfície e determinando diretamente o elemento de área correspondente.
Considere o campo escalar f(x, y, z) = x2 + y2. Calcule a integral de superfície
onde S é a parte do plano z = 3 dentro do círculo x2 + y2 ≤ 1, no espaço tridimensional.
Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto.
Alternativas:
π/2.
2π.
π/4.
4π.
π.
1) A solução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos fundamenta-se na determinação dos autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Nesse contexto, resolva o sistema homogêneo X’ = AX, no qual:
Agora, assinale a alternativa que indica a solução correta para o sistema:
Alternativas:
X(t) = c1 (1,-1) cos(3t) + c2 (1,1) sen(3t)
X(t) = c1 (1,-i) cos(t) + c2 (i,1) sen(t)
X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,1) e2t
X(t) = c1 (3,5) t + c2 (-5,3) t2
X(t) = c1 (1,-1) e3t + c2 (1,1) e5t
A série de Fourier é um método que expressa funções periódicas como uma combinação infinita de senos e cossenos, tornando, por exemplo, a análise de sinais mais clara e eficiente.
Nesse sentido, determine os primeiros dois coeficientes da série de Fourier de f(x) = 2x no intervalo [-π,π].
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
a0 = 0, b1 = 4.
a0 = 0, a1 = -π.
a0 = π, b1 = 4.
a0 = -π, b1 = π.
a0 = 0, b1 = π.
A série de Taylor é um recurso matemático fundamental para aproximar funções em torno de um ponto específico, desempenhando um papel central na solução de problemas em cálculo, física e engenharia.
Identifique a série de Taylor da função f(x) = cos(x) centrada em x = 0, até o termo de ordem 3.
Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Alternativas:
Autovalores e autovetores de uma matriz desempenham um papel fundamental na análise de transformações lineares e na solução de sistemas de equações diferenciais.
Calcule os autovalores da matriz
Em seguida, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
λ1 = 3 e λ2 = 1.
λ1 = 0 e λ2 = -2.
λ1 = 1 e λ2 = -3.
λ1 = 2 e λ2 = 4.
λ1 = 4 e λ2 = -2.
Sistemas não homogêneos podem ser resolvidos aplicando o método de autovalores para determinar a solução complementar, combinada a uma solução particular obtida por substituição ou pelo método dos coeficientes indeterminados.
Assim, identifique solução para o sistema X’ = AX + b, no qual:
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
X(t) = c1 (1,0) e2t + c2 (0,1) e-t + (-3/2, -2)
X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,0) e2t + (-1, 1)
X(t) = c1 (1,2) e-t + c2 (2,-1) e2t + (-3, -2)
X(t) = c1 (1,0) t + c2 (0,1) t2
X(t) = c1 (1,1) e2t + c2 (1,1) e-t + (1, 0)
