[AV2] [CÁLCULO IV] [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) A integral de linha permite calcular o trabalho realizado por um campo de forças ao longo de uma curva, além de determinar o fluxo de um campo vetorial.

Calcule a integral de linha do campo vetorial F(x, y) = (2x, y) ao longo da curva C, que é o segmento de reta de (1, 0) até (3, 2).

Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto.

---

Alternativas:

• a)

  4.

• b)

  6.

• c)

  8.

• d)

  10.

• e)

  12.

2)

As integrais de superfície possibilitam calcular o fluxo de campos vetoriais através de superfícies no espaço tridimensional.

Calcule a integral de superfície

onde F(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) e S é a superfície da esfera x2 + y2 + z2 = 4, orientada para fora, utilizando o teorema da Divergência.

Agora, assinale a alternativa com o resultado correto:

---

Alternativas:

• a)

  16π.

• b)

  32π.

• c)

  48π.

• d)

  64π.

• e)

  96π.

3)

O rotacional quantifica a tendência de rotação de um campo vetorial, enquanto a divergência expressa a intensidade de suas fontes e sumidouros.

Seja F(x, y, z) = (y, z, x). Determine o rotacional associado ao campo vetorial F e assinale a alternativa que indica o resultado correto.

---

Alternativas:

• a)

  (0, x, y).

• b)

  (-1, -1, -1).

• c)

  (-y, -x, 0).

• d)

  (z, y, x).

• e)

  (1, z, x).

4)

Teorema de Green estabelece uma relação entre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada e a integral dupla do rotacional — ou da divergência, conforme o contexto — sobre a região por ela delimitada.

Use o Teorema de Green para calcular

onde C é o quadrado com vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) e (1, 1), orientado no sentido anti-horário.

Agora, assinale a alternativa que indica o resultado correto.

---

Alternativas:

• a)

  -1.

• b)

  -2.

• c)

  0.

• d)

  1.

• e)

  2.

5)

A integral de superfície é utilizada para calcular o fluxo de campos vetoriais ou para acumular valores distribuídos sobre superfícies no espaço tridimensional. Pela definição, resolvemos esse tipo de integral parametrizando a superfície e determinando diretamente o elemento de área correspondente.

Considere o campo escalar f(x, y, z) = x2 + y2. Calcule a integral de superfície

onde S é a parte do plano z = 3 dentro do círculo x2 + y2 ≤ 1, no espaço tridimensional.

Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto.

---

Alternativas:

• a)

  π/2.

• b)

  2π.

• c)

  π/4.

• d)

  4π.

• e)

  π.

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[AV1] [CÁLCULO IV] [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) A solução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos fundamenta-se na determinação dos autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Nesse contexto, resolva o sistema homogêneo X’ = AX, no qual:

Agora, assinale a alternativa que indica a solução correta para o sistema:

---

Alternativas:

• a)

  X(t) = c1 (1,-1) cos(3t) + c2 (1,1) sen(3t)

• b)

  X(t) = c1 (1,-i) cos(t) + c2 (i,1) sen(t)

• c)

  X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,1) e2t

• d)

  X(t) = c1 (3,5) t + c2 (-5,3) t2

• e)

  X(t) = c1 (1,-1) e3t + c2 (1,1) e5t

  
  

2)

A série de Fourier é um método que expressa funções periódicas como uma combinação infinita de senos e cossenos, tornando, por exemplo, a análise de sinais mais clara e eficiente.

Nesse sentido, determine os primeiros dois coeficientes da série de Fourier de f(x) = 2x no intervalo [-π,π].

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  a0 = 0, b1 = 4.

  
  
• b)

  a0 = 0, a1 = -π.

• c)

  a0 = π, b1 = 4.

• d)

  a0 = -π, b1 = π.

• e)

  a0 = 0, b1 = π.

3)

A série de Taylor é um recurso matemático fundamental para aproximar funções em torno de um ponto específico, desempenhando um papel central na solução de problemas em cálculo, física e engenharia.

Identifique a série de Taylor da função f(x) = cos(x) centrada em x = 0, até o termo de ordem 3.

Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto:

---

Alternativas:

• a)

  

• b)

  

• c)

  

  
  
• d)

  

• e)

  

4)

Autovalores e autovetores de uma matriz desempenham um papel fundamental na análise de transformações lineares e na solução de sistemas de equações diferenciais.

Calcule os autovalores da matriz

Em seguida, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  λ1 = 3 e λ2 = 1.

• b)

  λ1 = 0 e λ2 = -2.

• c)

  λ1 = 1 e λ2 = -3.

• d)

  λ1 = 2 e λ2 = 4.

  
  
• e)

  λ1 = 4 e λ2 = -2.

5)

Sistemas não homogêneos podem ser resolvidos aplicando o método de autovalores para determinar a solução complementar, combinada a uma solução particular obtida por substituição ou pelo método dos coeficientes indeterminados.

Assim, identifique solução para o sistema X’ = AX + b, no qual:

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  X(t) = c1 (1,0) e2t + c2 (0,1) e-t + (-3/2, -2)

• b)

  X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,0) e2t + (-1, 1)

  
  
• c)

  X(t) = c1 (1,2) e-t + c2 (2,-1) e2t + (-3, -2)

• d)

  X(t) = c1 (1,0) t + c2 (0,1) t2

• e)

  X(t) = c1 (1,1) e2t + c2 (1,1) e-t + (1, 0)

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[AP1 DE ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II][RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

Considere uma escada interna de uma edificação residencial, executada em concreto armado, responsável por vencer o desnível entre dois pavimentos. A escada é do tipo inclinada, com comportamento estrutural semelhante ao de uma viga, sendo armada longitudinalmente. 

Abaixo estão os dados de projeto da escada:

• Desnível total a vencer (HV): 2,88 m
• Altura do espelho (e): 17,5 cm 
• Largura da pisada (s): 28 cm 
• Largura da escada: 1,20 m
• Espessura da laje: 12 cm 
• Peso específico do concreto: 25 KN/m³
• Carga de revestimentos (inferior + superior): 1,0 KN/m²
• Carga acidental (uso residencial): 2,5 KN/m²

Podemos adotar que as ações atuam por metro quadrado de projeção horizontal. Com base nesses dados, responda:

a) Verifique se a escada atende à condição geométrica recomendada pela NBR 9077, expressa por:

 S + 2e

Atende à NBR 9077 (intervalo permitido: 60 a 64 cm).

b) Determine o número total de degraus e o comprimento horizontal da escada. 

c) Calcule a carga total distribuída atuante na escada (em KN/m²), considerando o peso próprio da laje, os revestimentos e a carga acidental. 

d) Indique a direção da armadura principal da escada e justifique sua resposta com base no modelo estrutural adotado. 

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