Se uma função f for derivável, então f ’ é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f ’ existir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de ordem 2), e assim por diante. As derivadas primeira e segunda de uma função carregam informações importantes, como: seja f uma função contínua no intervalo
a, b e derivável em (a, b).
i) Se f ’(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em a, b.
ii) Se f ’(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em a, b.
Agora: Seja f uma função derivável em um intervalo (a, b) e seja c um ponto crítico de f neste intervalo, isto é, f ’(c)= 0, com a < c < b. Se f admite a derivada segunda em (a, b) então:
i) Se f ”(c) < 0, f tem um valor máximo relativo em c.
ii) Se f ”(c) > 0, f tem um valor mínimo relativo em c.
Sobre as aplicações das derivadas primeira e segunda para obter possíveis pontos de mínimo ou máximo de uma função, observe a função a seguir: f(x) = -x + 15.x . Ao estudar a disciplina de Cálculo, Matheus se depara com tal função e precisa saber, caso exista, qual ou quais são os pontos de mínimo e/ou de máximo dessa função f(x). Ao fazer os cálculos usando a derivada primeira e a derivada segunda da função f(x), Matheus poderá encontrar os pontos de mínimo e/ou de máximo. Caso Matheus os encontre, tais valores serão:
0.
10.
15.
0 e 10.
10 e 15.
A aparência externa remete à borracha. Ninguém imagina, no entanto, que o pneu possa contar com tantos e variados componentes responsáveis pelo desempenho necessário para garantir, com segurança, todas as características exigidas por esse complexo produto. Ele é fabricado para rodar por milhares de quilômetros
em todos os tipos de estrada, em terrenos enlameados, pistas pedregosas, desertos e até terras geladas. A proporção dos itens na composição do pneu varia de acordo com seu uso. Por exemplo, nos pneus de automóveis de passeio, que rodam em estradas pavimentadas, a borracha sintética é mais usada que a borracha natural. Nos pneus de caminhões de carga, empregados em múltiplas estradas, predomina o uso da borracha natural, por sua maior resistência aos cortes e lacerações. A presença do negro de fumo ou carbono amorfo, derivado do petróleo, é fundamental em todos os compostos de borracha, porque confere resistência à abrasão e deixa o pneu preto. Além disso, é imprescindível o uso do enxofre, elemento vulcanizante, somado com vários outros produtos químicos, catalisadores, plastificantes e cargas
reforçantes. Com relação à fabricação de pneus, a função R(q) = -0,4q +400q expressa a receita R em reais, para a venda de q unidades de um tipo de pneu. Com base na função dada, assinale a alternativa que expressa, respectivamente, a quantidade de pneus vendidos para se ter a receita máxima e o valor da receita máxima:
Quantidade q = 100 e receita R$ 1000,00.
Quantidade q = 100 e receita R$ 10.000,00.
Quantidade q = 500 e receita R$ 10.000,00.
Quantidade q = 500 e receita R$ 100.000,00.
Quantidade q = 100 e receita R$ 1000.000,00.
Uma integral é dita indefinida quando não se conhece os limites de integração, ou seja, o intervalo no qual ela está sendo integrada. Exemplo: . Na integração indefinida, a função resultante será a função integrada F(x), sendo necessário somá-la a uma constante, chamada de constante de integração. Diferentemente da integral indefinida, os limites da integral definida já estão estabelecidos. Para resolvê-la, basta encontrar a integral da função em questão, e neste resultado substituir os valores dos limites superior e inferior. Como as constantes de integração são iguais, a integral definida é a subtração das funções primitivas substituídas pelos limites superior e inferior, neste caso (B e A, respectivamente). Com relação às definições sobre Integral Definida, observe a função a seguir: f(x)= 5x +7x-2. Calculando a Integral Definida dessa função em relação à variável x, nos valores 0 e 2, ou seja, teremos como resultado:
0.
-4.
10.
14.
23.
Uma das aplicações da Integral de uma função f ‘(x) é obter a função primitiva f(x) quando se tem a derivada, ou seja, f ‘(x). Ao fazer um trabalho em uma empresa, João sabe que a taxa de variação instantânea, a derivada, da função receita de um produto é dada pela função R ‘(q) = 3q , em que R representa a receita em reais, e q representa a quantidade de produtos vendidos em unidades. João precisa saber qual é o valor da receita quando se vende 500 unidades de tal produto. Assim, João faz a Integral da função R ‘(q) obtendo a função R(q) e a calcula no valor 500. Sobre o valor que João encontra após esses cálculos, assinale a alternativa correta:
500 + c.
125000 + c.
250000 + c.
500000 + c.
125000000 + c.
Como estudado na disciplina de cálculo, é possível determinar extremos, assim como os mínimos e/ou máximos de uma função utilizando as suas derivadas. Esses recursos podem ser úteis para se encontrar soluções de problemas que exigem os melhores valores possíveis de uma variável, e muito aplicáveis no cotidiano em problemas de otimização, otimização que é fundamental em qualquer meio aplicado afim de se descobrir mínimos ou máximos do que se está estudando ou trabalhando. Sobre a questão de mínimos e/ou máximos de funções, observe o gráfico a seguir. No gráfico, consta informações sobre mínimos e máximos de uma função. Sobre as representações expressas no gráfico, analise as afirmativas a seguir.
I. O maior valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto f.
II. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto b, apresenta um valor positivo.
III. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada segunda de f(x) calculada no ponto c, apresenta um valor positivo.
IV. Sendo f(x) a função com o gráfico representado acima, a derivada primeira de f(x), é igual a zero no ponto d.
V. O menor valor da função f(x) acontece quando ela é aplicada no ponto c.
É correto o que se afirma em:
I, apenas.
I e II, apenas.
II, III e IV, apenas.
IV e V, apenas.
I, III, IV e V, apenas
ATIVIDADE RESOLVIDA
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