AV1 - Cálculo Diferencial e Integral III [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) O cálculo de várias variáveis tem diversas aplicações em áreas como física, engenharia, economia e inteligência artificial. Diante deste contexto, analise as afirmativas que seguem:

I - O vetor gradiente é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a entender como uma função varia em diferentes direções.

II - A equação do plano é essencial para descrever superfícies planas no espaço tridimensional.

III - A equação tangente ao plano é crucial para aproximar superfícies curvas por planos, facilitando a análise e a resolução de problemas complexos.

Marque a alternativa correta.

---

Alternativas:

• a)

  Apenas I e III estão corretas.

• b)

  Apenas I, II e III estão corretas.

• c)

  Apenas I e II estão corretas.

• d)

  Apenas I está correta. 

• e)

  Apenas III está correta.

2)

Um pesquisador precisa calcular a integral tripla da função f(x, y, z) = 2x, sobre a região R, limitada pelos planos coordenados e pelos planos de equações x = 1, y = 2 e z = 1.

Diante disso, assinale a alternativa quais os limites de integração que precisam ser adotados na resolução desse problema?

---

Alternativas:

• a)

  0≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 1

• b)

  0≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3 e 0 ≤ z ≤ 4

• c)

  1≤ x ≤ 0, 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ 2

• d)

  0≤ x ≤ -1, 0 ≤ y ≤ -2 e 0 ≤ z ≤ -1

• e)

  0≤ x ≤ -2, 0 ≤ y ≤ -1 e 0 ≤ z ≤ -3

3)

Qual o resultado obtido com o cálculo da integral tripla da função f(x, y, z) = xy – z sobre a região S limitada pelos três planos coordenados e pelos planos de equações x = 4, y = 1 e z = 1. Marque a alternativa correta.

---

Alternativas:

• a)

  1

• b)

  2

• c)

  3

• d)

  4

• e)

  5

4)

O cálculo das áreas de superfície é uma parte fundamental do cálculo integral e diferencial, com aplicações que vão desde a física e engenharia até a biologia e economia. Diante disso, analise as afirmativas que seguem e marque V quando for verdadeiro ou F quando for falso:

( ) A compreensão das áreas de superfície permite a análise de formas complexas e a determinação de propriedades físicas importantes, como volume, fluxo e resistência.

( ) Diferente da área de figuras planas, calcular a área de superfícies envolve considerar a curvatura e a complexidade das formas.

( ) Para superfícies simples, como cilindros, cones e esferas, existem fórmulas específicas que facilitam o cálculo.

Marque alternativa correta. 

---

Alternativas:

• a)

  V – F – V.

• b)

  F – V – V.

• c)

  V – V – F.

• d)

  V – V – V.

• e)

  F – F – V.

5)

Determine o volume do sólido E limitado superiormente pela superfície de equação f(x,y) = 2 – x² - y², limitado também pelos três planos coordenados e pelos planos de equações x = 1 e y = 1. A representação gráfica do sólido em questão é dada como segue:

Marque a alternativa correta com o volume do sólido E a partir da integral tripla.

---

Alternativas:

• a)

  1/3

• b)

  2/5

• c)

  4/3

• d)

  1/5

• e)

  1/6

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AV1 - Cálculo Diferencial e Integral III [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) Considere uma superfície, no formato de paraboloide, cuja equação seja dada por:

z = 4 - x² - 3y²

A partir dessa superfície, um dos estudos que pode ser realizado consiste na avaliação de planos tangentes à superfície em diferentes pontos.

Nesse contexto, assinale a alternativa que indica corretamente a equação da reta tangente à superfície passando pelo ponto P(1, -1, 0):

---

Alternativas:

• a)

  x - y + 6 = 0

• b)

  2x - y + z - 8 = 0

  
  
• c)

  2x + y + z + 4 = 0

• d)

  2x + 6y + z = 0

• e)

  x + 3y - z + 8 = 0

2)

No cálculo de uma integral tripla faz-se necessário representar adequadamente a região de integração, para que seja possível reconhecer os limites de integração corretamente e calcular as integrais iteradas segundo uma ordem correta, conforme indica o teorema de Fubini.

Nesse sentido, considere a região R no espaço cartesiano limitada superiormente pelo plano x + y + z - 2 = 0 e inferiormente pelo plano xy (z = 0).

Assinale a alternativa que apresenta corretamente a descrição da região R:

---

Alternativas:

• a)

  R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 + x, 0 ≤ z ≤ x + y - 2}

• b)

  R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - x, 0 ≤ z ≤ 1 - x - y}

• c)

  R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 - x, 0 ≤ z ≤ 2 - y}

• d)

  R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x + y}

• e)

  R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 - x, 0 ≤ z ≤ 2 - x - y}

  
  

3)

Além da utilização de coordenadas cartesianas, no cálculo de integrais triplas também é possível empregar a mudança para outros sistemas de coordenadas, como é o caso das coordenadas cilíndricas ou esféricas, conforme a estrutura da região de integração.

Nesse contexto, considere a região tridimensional A limitada superiormente pelo hemisfério superior da esfera de equação x² + y² + z² = 9 e limitada inferiormente pelo plano z = 0.

Empregando mudança de coordenadas, calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = 12z sobre a região A e assinale a alternativa que indica o resultado correto dessa integral:

---

Alternativas:

• a)

  18π

• b)

  81π

• c)

  120π

• d)

  243π

  
  
• e)

  512π

4)

Considere a região tridimensional E delimitada superiormente pelo paraboloide de equação z = 16 - x² - y² e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0.

A respeito dessa região, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:

I. O volume da região E pode ser calculado por meio da integral tripla

PORQUE

II. Podemos descrever a região E em coordenadas cilíndricas como E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 16, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ z ≤ 4}.

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  As asserções I e II estão corretas, e a II justifica a I.

• b)

  As asserções I e II estão corretas, mas a II não justifica a I.

• c)

  A asserção I está correta e a II, incorreta.

  
  
• d)

  A asserção II está correta e a I, incorreta.

• e)

  As asserções I e II estão incorretas.

5)

Para o cálculo de uma integral tripla precisamos estabelecer os limites de integração a partir de uma região tridimensional, que pode ser representada a partir do espaço cartesiano.

Nesse contexto, considere o paralelepípedo S no espaço contendo os pontos (x,y,z) tais que -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 e 2 ≤ z ≤ 4.

Qual é o resultado obtido ao calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = 3x²y sobre a região S?

---

Alternativas:

• a)

  6.

• b)

  8.

• c)

  12.

• d)

  18.

  
  
• e)

  27.

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AV2 de Pensamento Analítico e Análise de Dados [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) Na programação, as variáveis atuam como contêineres que armazenam dados que podem ser usados e manipulados ao longo de um programa. Esses contêineres de dados podem armazenar valores como números, caracteres, strings ou até mesmo estruturas mais complexas como listas e dicionários. O valor armazenado em uma variável pode ser alterado ao longo da execução do programa, o que torna as variáveis instrumentos flexíveis e essenciais para a lógica de programação. É importante notar que diferentes linguagens de programação podem ter diferentes tipos e regras para variáveis.

O que são variáveis na programação?

---

Alternativas:

• a)

  Algoritmos para calcular a média de notas.

• b)

  Kits de ferramentas como Pandas, Numpy e Scikit-learn.

• c)

  Pequenos armários onde você pode armazenar informações.

• d)

  Instruções como if-else e loops como for e while.

• e)

  Uma forma de colocar ordem e estrutura na resolução de problemas.

2)

O Anaconda é uma plataforma popular usada por desenvolvedores, cientistas de dados e pesquisadores para facilitar o trabalho com várias linguagens de programação, incluindo Python e R.

O que o Anaconda oferece?

---

Alternativas:

• a)

  Apenas o ambiente de desenvolvimento Jupyter Notebook.

• b)

  Uma gama de algoritmos prontos para uso.

• c)

  Uma distribuição gratuita do Python e bibliotecas de ciência de dados pré-instaladas.

• d)

  Um mecanismo de busca avançado para dados.

• e)

  Uma base de dados para treinamento em ciência de dados.

3)

"São dados organizados em tabelas, com tipo fixos, projetados previamente, geralmente gerenciados por um sistema gerenciador de bancos dados"

O texto faz referencia que tipo de classificação de dados?

---

Alternativas:

• a)

  Dados semi-estruturados

• b)

  Dados não estruturados

• c)

  Dados de 6 lados

• d)

  Dados estruturados

• e)

  Dados discretizados

4)

Além de uma das principais empresas brasileiras, a Petrobras também e uma das lideres em inovação e pesquisa em tecnologia, uma prova disso é o fato dela ser a dona de vários supercomputadores, entres eles o Pégaso, o atual maior computador da américa e 33º do mundo. Estes supercomputadores ajudam a empresas em vários projetos e funções, como localizar e planejar a extração de materiais de forma eficiente e segura.

Um dos grandes projetos da Petrobrás utilizando Big Data e aprendizado de máquina é o Digital Twins um projeto que cria simulação virtuais exatamente fieis a realidade, ela utiliza essa ferramenta para testar inovações de maneira controlada antes que elas sejam implementadas na prática e também para acompanhar em tempo real os processos em ação, o que permite prever falhar futuras em equipamentos, testar cenários diferentes ou aumentar a eficiências de processos atuais.

Em relação à tecnologia "digital twin" ou "gêmeo digital", assinale qual das alternativas é a verdadeira:

---

Alternativas:

• a)

  A tecnologia de "digital twin" ou "gêmeo digital" simula cenários previstos em projeto, com dados estimados em modelos previstos para o funcionamento do sistema como um todo, sem considerar dados provenientes de sensores no processo, em tempo real.

• b)

  A tecnologia de "digital twin" ou "gêmeo digital" simula apenas ocorrências passadas, nesses cenários são adicionados apenas dados estatísticos considerados mais críticos. Com os dados destes sensores são feitos modelos de aprendizado de máquina, para testar ocorrências futuras, ou até mesmo testar cenários antes que ocorram na pratica.

• c)

  A tecnologia de "digital twin" ou "gêmeo digital" simula apenas os cenários estimados em análise de risco prévias, nesses cenários são adicionados dados aleatórios, assim podendo calcular os estados atuais dos sistemas da empresa. Com os dados destes sensores são feitos modelos de estatísticos, para testar ocorrências futuras, ou até mesmo testar cenários antes que ocorram na pratica.

• d)

  A tecnologia de "digital twin" ou "gêmeo digital" simula os cenários reais, nesses cenários são adicionados dados reais dos sensores presentes nos equipamentos, assim podendo calcular os estados atuais dos sistemas da empresa. Com os dados destes sensores são feitos modelos de aprendizado de máquina, para testar ocorrências futuras, ou até mesmo testar cenários antes que ocorram na pratica.

• e)

  A tecnologia de "digital twin" ou "gêmeo digital" apenas repete ocorrências do passado ocorrido nos equipamentos, nessas ocorrências são adicionados dados reais dos sensores presentes nos equipamentos, assim podendo calcular os estados atuais dos sistemas da empresa. Com os dados destes sensores são feitos modelos de aprendizado de máquina, para testar ocorrências futuras, ou até mesmo testar cenários antes que ocorram na pratica.

5)

A aplicação dos modelos de regressão linear abre possibilidades para solucionar diversos desafios na busca da resposta de variáveis para funções complexas que não permitem a realização de um cálculo analítico pelo desconhecimento do comportamento real dessas variáveis.

Utilizando o modelo KNN (K-nearest neighbors ou K-vizinhos mais próximos) podemos estimar o preço de um produto com base nos preços dos produtos mais semelhantes. Essa abordagem é particularmente interessante em ambientes dinâmicos, onde as condições de contorno mudam com uma velocidade relativamente grande.

Em relação aos modelos de regressão linear, dentre eles o modelo KNN (K-nearest neighbors ou K-vizinhos mais próximos) podemos ter as asserções:

 

Asserção I: Ao utilizar o modelo KNN, podemos utilizar apenas dados de produtos iguais aos que queremos estimar os preços futuros.

 

Asserção II: O modelo KNN pode ser utilizado em ambientes dinâmicos, onde as condições de contorno mudam com uma velocidade relativamente grande.

 

Em relação às asserções I e II, pode-se afirmar:

---

Alternativas:

• a)

  As asserções I e II são verdadeiras, e a asserção II é justificativa da asserção I;

• b)

  As asserções I e II são verdadeiras, mas a asserção II não é justificativa da asserção I;

• c)

  As asserções I e II são falsas;

• d)

  A asserção I é verdadeira e a asserção II é falsa;

• e)

  A asserção II é verdadeira e a asserção I é falsa;

• 
  

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AP2 DE CÁLCULO II [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

O símbolo ∫ foi introduzido por Leibniz e é denominado sinal de integral. Ele é um S alongado e foi assim escolhido porque uma integral é um limite de somas. Na notação ∫a b f(x) dx, f(x) é chamado integrando, a e b são ditos limites de integração, a é o limite inferior, b, o limite superior. Por enquanto, o símbolo dx não tem significado sozinho; ∫a b f(x) dx é apenas um símbolo. O dx simplesmente indica que a variável dependente é x. O procedimento de calcular a integral é chamado integração (STEWART, 2014, p. 337).

Calcule as integrais abaixo:

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