1) Na arquitetura podemos encontrar exemplos de sólidos de revolução: A Catedral Metropolitana, em Brasília e o Museu de Arte Contemporânea, em Niterói, dentre muitos outros projetos arquitetônicos. Na imagem a seguir vemos uma fotografia da Catedral Metropolitana e uma função que ao rotacionar em torno do eixo y gera um sólido com o mesmo formato da Catedral.
De acordo com as informações apresentadas na tabela a seguir, faça a associação das funções contidas na Coluna A com seus respectivos sólidos de revolução gerados pela rotação em torno do eixo y, apresentados na Coluna B.
Assinale a alternativa que apresenta a associação CORRETA entre as colunas.
Alternativas:
- a)
I - 4; II - 1; III - 2; IV - 3
- b)
I - 2; II - 1; III - 4; IV - 3
- c)
I - 4; II - 3; III - 2; IV - 1
- d)
I - 3; II - 4; III - 1; IV - 2
- e)
I - 1; II - 3; III - 2; IV - 4
O volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das ordenadas será calculado de maneira análoga ao volume gerado pela rotação em torno do eixo das abscissas.
No primeiro caso, usamos:
No segundo caso, se y=f(x), precisamos em primeiro lugar encontrar x=g(y), e com isso adaptar a expressão para o cálculo do volume para essa função.
Assumindo os conteúdos da unidade e o texto base, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função x=y, no intervalo 0<y<4, em torno do eixo das ordenadas e assinale a alternativa que expressa esse resultado.
Alternativas:
- a)
unidades de volume - b)
unidades de volume - c)
unidades de volume - d)
unidades de volume - e)
unidades de volume
Um dos grandes avanços da geometria clássica foi a obtenção de fórmulas para determinar a área e o volume de triângulos, esferas e cones. Contudo há um método para calcular áreas e volumes das formas mais gerais. Esse método, chamado integração, é uma ferramenta para calcular muito mais do que áreas e volumes. A integral é de fundamental importância em estatística, ciências e engenharia. Ela nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa. Estudaremos uma variedade dessas aplicações no próximo capítulo, mas, neste, iremos nos concentrar no conceito de integral e em seu uso no cálculo de áreas de várias regiões com contornos curvos.
Tendo como referência seu conhecimento as integrais e sua relação com áreas de curvas, julgue as afirmações abaixo em (V) Verdadeiras ou (F).
( ) A integral 
pode ser utilizada para calcular a área da região delimitada pela função contínua 
, pelas retas verticais 
e 
e pelo eixo 
.
( ) A área delimitada superiormente pela curva , inferiormente pela curva 
e delimitado pelas retas e pode ser calculada por 
.
( ) A única aplicação para as integrais em engenharia são os cálculos de área abaixo de uma curva e entre duas curvas. Além disso, a integral se restringe a uma ferramenta matemática pouco útil.
( ) Ao calcular a integral de uma função contínua estamos calculando um valor que representa o comprimento total do arco dessa curva de até .
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Alternativas:
- a)
F – V – V – V
- b)
V – F – V – F
- c)
V – V – F – V
- d)
V – V – F – F
- e)
F – V – V – F
O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O mentor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descobriu que esses dois problemas estão, na verdade, estreitamente relacionados. Ele percebeu que a derivação e a integração são processos inversos. O Teorema Fundamental do Cálculo dá a relação inversa precisa entre a derivada e a integral. Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorema Fundamental os capacitava a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de somas.
Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento sobre integrais e cálculo de área de curvas, assinale a alternativa que determina corretamente o cálculo da área sombreada da figura abaixo.
Alternativas:
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
Ao contrário da derivada, que só aparece no século XVII, a origem da integral remonta às ideias de Arquimedes (287 - 212 a.C.), em seus cálculos de áreas e volumes. Essas ideias são retomadas pelos matemáticos do século XVII, cujas pesquisas são os primeiros esforços que redundam na criação do Cálculo. Mas os avanços dessa disciplina, com pleno desenvolvimento de seus métodos e técnicas, ocorrem durante todo o século XVIII, um desenvolvimento que é essencialmente de natureza prática e aplicada. Já a “teoria da integral” só se desenvolve e atinge plena maturidade num trabalho de Riemann (1826 - 1866) de 1854.
Com base no que foi estudado sobre o cálculo de área com integrais, analise as afirmativas a seguir:
I. Calcular integrais é equivalente a determinar áreas de figuras. Contudo, isso pode ser aplicado apenas em curvas retas.
II. Resolver a integral é equivalente a determinar o comprimento da linha que liga 
até 
.
III. Dado uma função contínua e positiva, então a integral determina a área entre , o eixo e as retas e .
IV. Para determine a área que é delimitada superiormente pela curva e inferiormente por , entre duas retas verticais e , basta calcular 
.
Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirmar em:
Alternativas:
- a)
Apenas I e II estão corretas.
- b)
Apenas I e III estão corretas.
- c)
Apenas II e III estão corretas.
- d)
Apenas III e IV estão corretas.
- e)
Apenas II, III e IV estão corretas.
