07/06/2024

SUB1 - Cálculo Diferencial e Integral II [RESOLVIDA]

1)

Em um de seus aspectos, a integração é operação inversa da derivação. Outro aspecto importante da integral é o conceito de integral como área de figuras planas. E interessante observar que, ao contrário da derivada, que só aparece no século XVII, a origem da integral remonta às ideias de Arquimedes (287 - 212 a.C.), em seus cálculos de áreas e volumes. Essas ideias são retomadas pelos matemáticos do século XVII, cujas pesquisas são os primeiros esforços que redundam na criação do Cálculo. Mas os avanços dessa disciplina, com pleno desenvolvimento de seus métodos e técnicas, ocorrem durante todo o século XVIII, um desenvolvimento que é essencialmente de natureza prática e aplicada. Já a “teoria da integral” só se desenvolve e atinge plena maturidade num trabalho de Riemann (1826 - 1866) de 1854.

Com base no que foi estudado sobre arranjos, analise as afirmativas a seguir:

I. No método de Riemann para calcular uma integral, se for possível fazer infinitos retângulos a área da integral será exata, entretanto esse cálculo costuma ser complexo.

II. A integral indefinida integral f left parenthesis x right parenthesis d x denota uma família de funções na qual cada membro é uma primitiva de f left parenthesis x right parenthesis, enquanto a integral definida integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x é um número.

III. O teorema fundamental do cálculo é denotado por integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x equals F left parenthesis b right parenthesis minus F left parenthesis a right parenthesis, onde F é qualquer primitiva de f.

IV. A integral indefinida da função integral 3 x squared d x é igual a F left parenthesis x right parenthesis equals 3 x cubed plus K.

Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirmar em:


  • a) Apenas I e II estão corretas.
  • b) Apenas I e III estão corretas.
  • c) Apenas I, II e III estão corretas.
  • d) Apenas II, III e IV estão corretas.
  • e) I, II, III e IV estão corretas.
2)

 Em relação as curvas polares e o plano polar open parentheses rho comma theta close parentheses, avalie as afirmações a seguir:

I) Para transformar em coordenadas polares, precisamos igualar as coordenadas de cada um dos sistemas e encontrar as variáveis faltantes.

II) A equação rho cos space theta equals d graficamente representa uma reta perpendicular ao eixo polar Ox

III) rho equals a representa um círculo de raio |a| unidades.

Assinale a alternativa que apresenta apenas as afirmações corretas


  • a) I, II e III
  • b) II e III
  • c) I e II
  • d) I e III
  • e) I
3)

O processo de integração de funções potência trigonométricas, em geral é feito com o uso de algumas técnicas. As afirmações a seguir apresentam algumas dessas regras:

I) Aplicar técnicas de integração por partes ou substituição de variáveis.

II) Uso de fórmulas recorrência, como integral s i n to the power of n x space d x equals negative 1 over n sin to the power of n minus 1 end exponent x space cos space x plus fraction numerator n minus 1 over denominator n end fraction integral sin to the power of n minus 2 end exponent x space d x

III) substituição por identidades trigonométricas, como sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)

Avalie as afirmações descritas e assinale a alternativa que apresenta apenas as corretas.


  • a) I, II, III
  • b) II, III
  • c) I, III
  • d) I, II
  • e) I
4)

O volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das ordenadas será calculado de maneira análoga ao volume gerado pela rotação em torno do eixo das abscissas.

No primeiro caso, usamos:

V equals integral subscript a superscript b pi open parentheses f left parenthesis x right parenthesis close parentheses squared d x

No segundo caso, se y=f(x), precisamos em primeiro lugar encontrar x=g(y), e com isso adaptar a expressão para o cálculo do volume para essa função.

Assumindo os conteúdos da unidade e o texto base, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função x=y, no intervalo 0<y<4, em torno do eixo das ordenadas e assinale a alternativa que expressa esse resultado.


  • a) V equals 32 pi unidades de volume
  • b) V equals fraction numerator 16 pi over denominator 3 end fraction unidades de volume
  • c) V equals 8 pi unidades de volume
  • d) V equals 16 pi unidades de volume
  • e) V equals fraction numerator 64 pi over denominator 3 end fraction unidades de volume
5)

O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Estes métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como um novo ramo da Matemática, que em meados do século XVIII se transformou em um conteúdo independente.

Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento sobre Equações Diferenciais Ordinais Separáveis, assinale a alternativa correta para a solução do problema de valor inicial dado por:

open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y apostrophe equals 3 x squared y end cell row cell y left parenthesis 0 right parenthesis equals 2 end cell end table close


  • a) y equals 2 e to the power of x squared end exponent
  • b) y equals 2 e to the power of 3 x end exponent
  • c) y equals 3 e to the power of x cubed end exponent
  • d) y equals 2 e to the power of x cubed end exponent
  • e) y equals e to the power of x cubed end exponent

 
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