AV1 - Cálculo Diferencial e Integral III [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]
1) Considere uma superfície, no formato de paraboloide, cuja equação seja dada por:
z = 4 - x² - 3y²
A partir dessa superfície, um dos estudos que pode ser realizado consiste na avaliação de planos tangentes à superfície em diferentes pontos.
Nesse contexto, assinale a alternativa que indica corretamente a equação da reta tangente à superfície passando pelo ponto P(1, -1, 0):
Alternativas:
- a)
x - y + 6 = 0
- b)
2x - y + z - 8 = 0
- c)
2x + y + z + 4 = 0
- d)
2x + 6y + z = 0
- e)
x + 3y - z + 8 = 0
No cálculo de uma integral tripla faz-se necessário representar adequadamente a região de integração, para que seja possível reconhecer os limites de integração corretamente e calcular as integrais iteradas segundo uma ordem correta, conforme indica o teorema de Fubini.
Nesse sentido, considere a região R no espaço cartesiano limitada superiormente pelo plano x + y + z - 2 = 0 e inferiormente pelo plano xy (z = 0).
Assinale a alternativa que apresenta corretamente a descrição da região R:
Alternativas:
- a)
R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 + x, 0 ≤ z ≤ x + y - 2}
- b)
R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 - x, 0 ≤ z ≤ 1 - x - y}
- c)
R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 - x, 0 ≤ z ≤ 2 - y}
- d)
R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2, 0 ≤ z ≤ x + y}
- e)
R = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 - x, 0 ≤ z ≤ 2 - x - y}
Além da utilização de coordenadas cartesianas, no cálculo de integrais triplas também é possível empregar a mudança para outros sistemas de coordenadas, como é o caso das coordenadas cilíndricas ou esféricas, conforme a estrutura da região de integração.
Nesse contexto, considere a região tridimensional A limitada superiormente pelo hemisfério superior da esfera de equação x² + y² + z² = 9 e limitada inferiormente pelo plano z = 0.
Empregando mudança de coordenadas, calcule a integral tripla da função f(x, y, z) = 12z sobre a região A e assinale a alternativa que indica o resultado correto dessa integral:
Alternativas:
- a)
18π
- b)
81π
- c)
120π
- d)
243π
- e)
512π
Considere a região tridimensional E delimitada superiormente pelo paraboloide de equação z = 16 - x² - y² e inferiormente pelo plano xy, de equação z = 0.
A respeito dessa região, analise as seguintes asserções e a relação proposta entre elas:
I. O volume da região E pode ser calculado por meio da integral tripla
PORQUE
II. Podemos descrever a região E em coordenadas cilíndricas como E = {(r, θ, z)|0 ≤ r ≤ 16, 0 ≤ θ ≤ π, 0 ≤ z ≤ 4}.
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
- a)
As asserções I e II estão corretas, e a II justifica a I.
- b)
As asserções I e II estão corretas, mas a II não justifica a I.
- c)
A asserção I está correta e a II, incorreta.
- d)
A asserção II está correta e a I, incorreta.
- e)
As asserções I e II estão incorretas.
Para o cálculo de uma integral tripla precisamos estabelecer os limites de integração a partir de uma região tridimensional, que pode ser representada a partir do espaço cartesiano.
Nesse contexto, considere o paralelepípedo S no espaço contendo os pontos (x,y,z) tais que -1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 3 e 2 ≤ z ≤ 4.
Qual é o resultado obtido ao calcular a integral tripla da função f(x,y,z) = 3x²y sobre a região S?
Alternativas:
- a)
6.
- b)
8.
- c)
12.
- d)
18.
- e)
27.
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