[AV1] [CÁLCULO IV] [RESOLVIDA COM NOTA MÁXIMA]

1) A solução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos fundamenta-se na determinação dos autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.

Nesse contexto, resolva o sistema homogêneo X’ = AX, no qual:

Agora, assinale a alternativa que indica a solução correta para o sistema:

---

Alternativas:

• a)

  X(t) = c1 (1,-1) cos(3t) + c2 (1,1) sen(3t)

• b)

  X(t) = c1 (1,-i) cos(t) + c2 (i,1) sen(t)

• c)

  X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,1) e2t

• d)

  X(t) = c1 (3,5) t + c2 (-5,3) t2

• e)

  X(t) = c1 (1,-1) e3t + c2 (1,1) e5t

  
  

2)

A série de Fourier é um método que expressa funções periódicas como uma combinação infinita de senos e cossenos, tornando, por exemplo, a análise de sinais mais clara e eficiente.

Nesse sentido, determine os primeiros dois coeficientes da série de Fourier de f(x) = 2x no intervalo [-π,π].

Agora, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  a0 = 0, b1 = 4.

  
  
• b)

  a0 = 0, a1 = -π.

• c)

  a0 = π, b1 = 4.

• d)

  a0 = -π, b1 = π.

• e)

  a0 = 0, b1 = π.

3)

A série de Taylor é um recurso matemático fundamental para aproximar funções em torno de um ponto específico, desempenhando um papel central na solução de problemas em cálculo, física e engenharia.

Identifique a série de Taylor da função f(x) = cos(x) centrada em x = 0, até o termo de ordem 3.

Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto:

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Alternativas:

• a)

  

• b)

  

• c)

  

  
  
• d)

  

• e)

  

4)

Autovalores e autovetores de uma matriz desempenham um papel fundamental na análise de transformações lineares e na solução de sistemas de equações diferenciais.

Calcule os autovalores da matriz

Em seguida, assinale a alternativa correta:

---

Alternativas:

• a)

  λ1 = 3 e λ2 = 1.

• b)

  λ1 = 0 e λ2 = -2.

• c)

  λ1 = 1 e λ2 = -3.

• d)

  λ1 = 2 e λ2 = 4.

  
  
• e)

  λ1 = 4 e λ2 = -2.

5)

Sistemas não homogêneos podem ser resolvidos aplicando o método de autovalores para determinar a solução complementar, combinada a uma solução particular obtida por substituição ou pelo método dos coeficientes indeterminados.

Assim, identifique solução para o sistema X’ = AX + b, no qual:

Agora, assinale a alternativa correta:

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Alternativas:

• a)

  X(t) = c1 (1,0) e2t + c2 (0,1) e-t + (-3/2, -2)

• b)

  X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,0) e2t + (-1, 1)

  
  
• c)

  X(t) = c1 (1,2) e-t + c2 (2,-1) e2t + (-3, -2)

• d)

  X(t) = c1 (1,0) t + c2 (0,1) t2

• e)

  X(t) = c1 (1,1) e2t + c2 (1,1) e-t + (1, 0)

ATIVIDADE RESOLVIDA

 

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