1) A solução de sistemas de equações diferenciais lineares homogêneos fundamenta-se na determinação dos autovalores e autovetores da matriz associada ao sistema.
Nesse contexto, resolva o sistema homogêneo X’ = AX, no qual:
Agora, assinale a alternativa que indica a solução correta para o sistema:
Alternativas:
- a)
X(t) = c1 (1,-1) cos(3t) + c2 (1,1) sen(3t)
- b)
X(t) = c1 (1,-i) cos(t) + c2 (i,1) sen(t)
- c)
X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,1) e2t
- d)
X(t) = c1 (3,5) t + c2 (-5,3) t2
- e)
X(t) = c1 (1,-1) e3t + c2 (1,1) e5t
A série de Fourier é um método que expressa funções periódicas como uma combinação infinita de senos e cossenos, tornando, por exemplo, a análise de sinais mais clara e eficiente.
Nesse sentido, determine os primeiros dois coeficientes da série de Fourier de f(x) = 2x no intervalo [-π,π].
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
- a)
a0 = 0, b1 = 4.
- b)
a0 = 0, a1 = -π.
- c)
a0 = π, b1 = 4.
- d)
a0 = -π, b1 = π.
- e)
a0 = 0, b1 = π.
A série de Taylor é um recurso matemático fundamental para aproximar funções em torno de um ponto específico, desempenhando um papel central na solução de problemas em cálculo, física e engenharia.
Identifique a série de Taylor da função f(x) = cos(x) centrada em x = 0, até o termo de ordem 3.
Em seguida, assinale a alternativa que indica o resultado correto:
Alternativas:
- a)
- b)
- c)
- d)
- e)
Autovalores e autovetores de uma matriz desempenham um papel fundamental na análise de transformações lineares e na solução de sistemas de equações diferenciais.
Calcule os autovalores da matriz
Em seguida, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
- a)
λ1 = 3 e λ2 = 1.
- b)
λ1 = 0 e λ2 = -2.
- c)
λ1 = 1 e λ2 = -3.
- d)
λ1 = 2 e λ2 = 4.
- e)
λ1 = 4 e λ2 = -2.
Sistemas não homogêneos podem ser resolvidos aplicando o método de autovalores para determinar a solução complementar, combinada a uma solução particular obtida por substituição ou pelo método dos coeficientes indeterminados.
Assim, identifique solução para o sistema X’ = AX + b, no qual:
Agora, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
- a)
X(t) = c1 (1,0) e2t + c2 (0,1) e-t + (-3/2, -2)
- b)
X(t) = c1 (1,-1) et + c2 (1,0) e2t + (-1, 1)
- c)
X(t) = c1 (1,2) e-t + c2 (2,-1) e2t + (-3, -2)
- d)
X(t) = c1 (1,0) t + c2 (0,1) t2
- e)
X(t) = c1 (1,1) e2t + c2 (1,1) e-t + (1, 0)
