Em um de seus aspectos, a integração é operação inversa da derivação. Outro aspecto importante da integral é o conceito de integral como área de figuras planas. E interessante observar que, ao contrário da derivada, que só aparece no século XVII, a origem da integral remonta às ideias de Arquimedes (287 - 212 a.C.), em seus cálculos de áreas e volumes. Essas ideias são retomadas pelos matemáticos do século XVII, cujas pesquisas são os primeiros esforços que redundam na criação do Cálculo. Mas os avanços dessa disciplina, com pleno desenvolvimento de seus métodos e técnicas, ocorrem durante todo o século XVIII, um desenvolvimento que é essencialmente de natureza prática e aplicada. Já a “teoria da integral” só se desenvolve e atinge plena maturidade num trabalho de Riemann (1826 - 1866) de 1854.
Com base no que foi estudado sobre arranjos, analise as afirmativas a seguir:
I. No método de Riemann para calcular uma integral, se for possível fazer infinitos retângulos a área da integral será exata, entretanto esse cálculo costuma ser complexo.
II. A integral indefinida 
denota uma família de funções na qual cada membro é uma primitiva de 
, enquanto a integral definida 
é um número.
III. O teorema fundamental do cálculo é denotado por 
, onde 
é qualquer primitiva de 
.
IV. A integral indefinida da função 
é igual a 
.
Considerando o contexto apresentado, é correto o que se afirmar em:
-
a) Apenas I e II estão corretas.
-
b) Apenas I e III estão corretas.
-
c) Apenas I, II e III estão corretas.
-
d) Apenas II, III e IV estão corretas.
-
e) I, II, III e IV estão corretas.
Em relação as curvas polares e o plano polar 
, avalie as afirmações a seguir:
I) Para transformar em coordenadas polares, precisamos igualar as coordenadas de cada um dos sistemas e encontrar as variáveis faltantes.
II) A equação 
graficamente representa uma reta perpendicular ao eixo polar Ox
III) 
representa um círculo de raio |a| unidades.
Assinale a alternativa que apresenta apenas as afirmações corretas
-
a) I, II e III
-
b) II e III
-
c) I e II
-
d) I e III
-
e) I
O processo de integração de funções potência trigonométricas, em geral é feito com o uso de algumas técnicas. As afirmações a seguir apresentam algumas dessas regras:
I) Aplicar técnicas de integração por partes ou substituição de variáveis.
II) Uso de fórmulas recorrência, como 
III) substituição por identidades trigonométricas, como sin(2x) = 2·sin(x)·cos(x)
Avalie as afirmações descritas e assinale a alternativa que apresenta apenas as corretas.
-
a) I, II, III
-
b) II, III
-
c) I, III
-
d) I, II
-
e) I
O volume de um sólido de revolução gerado pela rotação de uma função em torno do eixo das ordenadas será calculado de maneira análoga ao volume gerado pela rotação em torno do eixo das abscissas.
No primeiro caso, usamos:
No segundo caso, se y=f(x), precisamos em primeiro lugar encontrar x=g(y), e com isso adaptar a expressão para o cálculo do volume para essa função.
Assumindo os conteúdos da unidade e o texto base, calcule o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da função x=y, no intervalo 0<y<4, em torno do eixo das ordenadas e assinale a alternativa que expressa esse resultado.
-
a)
unidades de volume -
b)
unidades de volume -
c)
unidades de volume -
d)
unidades de volume -
e)
unidades de volume
O estudo das equações diferenciais começou com os métodos do Cálculo Diferencial e Integral, descobertos por Newton e Leibnitz, e elaborados no último quarto do século XVII para resolver problemas motivados por considerações físicas e geométricas. Estes métodos, na sua evolução, conduziram gradualmente à consolidação das Equações Diferenciais como um novo ramo da Matemática, que em meados do século XVIII se transformou em um conteúdo independente.
Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento sobre Equações Diferenciais Ordinais Separáveis, assinale a alternativa correta para a solução do problema de valor inicial dado por:
-
a)
-
b)
-
c)
-
d)
-
e)
