11/02/2024

AV1 - CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 [RESOLVIDA]


1) O nome Teorema Fundamental do Cálculo é apropriado, pois ele estabelece uma conexão entre os dois ramos do cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral. O cálculo diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de um problema aparentemente não relacionado, o problema da área. O mentor de Newton em Cambridge, Isaac Barrow (1630-1677), descobriu que esses dois problemas estão, na verdade, estreitamente relacionados. Ele percebeu que a derivação e a integração são processos inversos. O Teorema Fundamental do Cálculo dá a relação inversa precisa entre a derivada e a integral. Foram Newton e Leibniz que exploraram essa relação e usaram-na para desenvolver o cálculo como um método matemático sistemático. Em particular, eles viram que o Teorema Fundamental os capacitava a calcular áreas e integrais muito mais facilmente, sem que fosse necessário calculá-las como limites de somas.

Considerando o contexto apresentado e seu conhecimento introdutório sobre integrais assinale a alternativa correta na qual apresenta resumidamente uma passo a passo para a solução da integral integral subscript 0 superscript 1 left parenthesis 4 x cubed minus 8 x plus 5 right parenthesis d x..


Alternativas:

  • a)

  • b)

  • c)

  • d)

  • e)

2)

Para convertermos um ponto P=(x,y) do plano cartesiano para coordenadas polares precisamos ter em mente que: "para cada ponto P do plano, são associadas coordenadas (¿,¿) descritas da seguinte forma:

- ¿ é a distância do polo O ao ponto P

- ¿ é o ângulo entre o eixo polar e o seguimento de reta top enclose O P end enclose."

 

Para auxiliar nessa visualização, observe o gráfico a seguir:

3

Fonte: Elaborada pela autora

Diante dessa informação e dos conteúdos da unidade, converta a reta y=-2 em coordenadas polares e assinale a alternativa que descreve esse resultado.


Alternativas:

  • a)

     rho equals negative 2 space tan space theta

  • b)

     rho equals negative 2 space cos space theta

  • c)

     rho equals negative 2 space sin space theta

  • d)

     rho equals negative fraction numerator 2 over denominator cos space theta end fraction

  • e)

    rho equals negative fraction numerator 2 over denominator sin space theta end fraction

3)

O cálculo do comprimento de uma curva é uma das informações importantes que usamos para avaliar a área dessa curva.

Seja em coordenadas cartesianas

L equals integral subscript a superscript straight b square root of 1 plus open parentheses fraction numerator d y over denominator d x end fraction close parentheses squared end root d x

ou em coordenadas polares

L equals integral subscript alpha superscript beta square root of open parentheses f left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared plus open parentheses f apostrophe left parenthesis theta right parenthesis close parentheses squared end root d theta

o comprimento de um arco é calculado utilizando integrais definidas.

 Calcule o comprimento do da circunferência descrita pela equação rho equals 4.


Alternativas:

  • a)

    8p

  • b)

    2p

  • c)

    4p

  • d)

    16p

  • e)

    3p

4)

Um dos grandes avanços da geometria clássica foi a obtenção de fórmulas para determinar a área e o volume de triângulos, esferas e cones. Contudo há um método para calcular áreas e volumes das formas mais gerais. Esse método, chamado integração, é uma ferramenta para calcular muito mais do que áreas e volumes. A integral é de fundamental importância em estatística, ciências e engenharia. Ela nos permite calcular quantidades que vão desde probabilidades e médias até consumo de energia e forças que atuam contra as comportas de uma represa. Estudaremos uma variedade dessas aplicações no próximo capítulo, mas, neste, iremos nos concentrar no conceito de integral e em seu uso no cálculo de áreas de várias regiões com contornos curvos.

 

Tendo como referência seu conhecimento as integrais e sua relação com áreas de curvas, julgue as afirmações abaixo em (V) Verdadeiras ou (F).

( ) A integral integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x pode ser utilizada para calcular a área da região delimitada pela função contínua f left parenthesis x right parenthesis, pelas retas verticais x equals a e x equals b e pelo eixo x.  

( ) A área delimitada superiormente pela curva f left parenthesis x right parenthesis, inferiormente pela curva g left parenthesis x right parenthesis e delimitado pelas retas  x equals a e x equals b   pode ser calculada por integral subscript a superscript b open square brackets f left parenthesis x right parenthesis minus g left parenthesis x right parenthesis close square brackets d x.

( ) A única aplicação para as integrais em engenharia são os cálculos de área abaixo de uma curva e entre duas curvas. Além disso, a integral se restringe a uma ferramenta matemática pouco útil.

( ) Ao calcular a integral integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x de uma função contínua estamos calculando um valor que representa o comprimento total do arco dessa curva de  x equals a até x equals b .  

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.


Alternativas:

  • a)

    F – V – V – V

  • b)

    V – F – V – F

  • c)

    V – V – F – V

  • d)

    V – V – F – F

  • e)

    F – V – V – F

5)

É muito frequente, em se tratando de modelar um fenômeno ou um experimento qualquer, obtermos equações que envolvam as “variações” das quantidades (variáveis) presentes e consideradas essenciais. Desta forma, as leis que regem tal fenômeno são traduzidas por equações de variações. Quando estas variações são instantâneas, o fenômeno se desenvolve continuamente e as equações matemáticas são de­ nominadas equações diferenciais, ao passo que se as variáveis envolvidas forem discretizadas, isto é, funções de uma rede de pontos, em que temos as médias das variações, então as equações que descrevem o fenômeno serão denominadas equações de diferenças.

 

Tendo como referência seu conhecimento sobre Equações Diferenciais Ordinárias (EDO) Separáveis, julgue as afirmações abaixo em (V) Verdadeira ou (F) Falsa.

( ) A EDO  3 x fraction numerator d y over denominator d x end fraction plus y equals e to the power of x é separável, e pode ser escrita como fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals fraction numerator e to the power of x over denominator 3 x end fraction.

( ) A EDO  y fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals e to the power of x é separável, e pode ser escrita como fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals e to the power of x over y .

( ) A EDO 3 over y times fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals left parenthesis 1 plus x right parenthesis squared é separável, e pode ser escrita como fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals y left parenthesis 1 plus x right parenthesis squared over 3.

( ) A EDO  left parenthesis 1 plus y right parenthesis squared times fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals x cubed é separável, e pode ser escrita como fraction numerator d y over denominator d x end fraction equals x cubed over left parenthesis 1 plus y right parenthesis squared.

Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.


Alternativas:

  • a)

    F – V – V – V

  • b)

    V – F – V – F

  • c)

    V – V – F – V

  • d)

    F – F – V – V

  • e)

    F – V – V – F

 
 ATIVIDADE RESOLVIDA
 
    R$15,00 NO PIX

    eng.carlosjfilho@hotmail.com

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