16/02/2024

AV2 - Cálculo Diferencial e Integral 2 [RESOLVIDA]


1) As integrais duplas fazem parte dos conceitos fundamentais de Cálculo Diferencial e Integral quando estamos interessados em trabalhar com noções espaciais de volumes ou, até mesmo áreas de superfícies. Com base nesse conceito, julgue as informações a seguir:

 

I. Para o cálculo de uma integral dupla em uma região retangular, procedemos com o uso de dodecaedros para a aproximação do volume de uma superfície.

II. O vetor gradiente é utilizado para o cálculo de integrais iteradas.

III. O volume da superfície é aproximado pelo limite da soma de Riemann para funções de duas variáveis.

É correto o que se afirma em:


Alternativas:

  • a)

    I, apenas.

  • b)

    II, apenas.

  • c)

    III, apenas.

  • d)

    I e III, apenas.

  • e)

    II e III, apenas.

2)

Podemos aplicar o vetor gradiente em diversas situações, uma delas é encontrar o valor do vetor gradiente em um ponto de uma superfície. Pensando nesse conceito, qual seria o valor do vetor gradiente no ponto descrito pelas coordenadas (-2, 1, -3) do elipsoide de equação descrita fraction numerator x ² over denominator 4 end fraction plus y ² plus fraction numerator z ² over denominator 9 end fraction equals 3?

Assinale a alternativa correta.


Alternativas:

  • a)

    nabla F left parenthesis negative 2 comma 1 comma negative 3 right parenthesis space equals space open parentheses negative 5 comma 2 comma negative 6 over 9 close parentheses

  • b)

    nabla F left parenthesis negative 2 comma 1 comma negative 3 right parenthesis space equals space open parentheses negative 1 comma 2 comma negative 6 over 9 close parentheses

  • c)

    nabla F left parenthesis negative 2 comma 1 comma negative 3 right parenthesis space equals space open parentheses negative 1 comma 0 comma negative 6 over 9 close parentheses

  • d)

    nabla F left parenthesis negative 2 comma 1 comma negative 3 right parenthesis space equals space open parentheses negative 1 comma 2 comma negative 3 over 2 close parentheses

  • e)

    nabla F left parenthesis negative 2 comma 1 comma negative 3 right parenthesis space equals space open parentheses 0 comma 2 comma negative 1 over 9 close parentheses

3)

Suponha que em uma empresa de caixas de papelão são fabricados três tamanhos diferentes, pequena, média e grande. O custo para fabricação de uma caixa pequena é de R$ 1,50, de uma caixa média é de R$2,50 e de uma caixa grande é de R$4,00. O custo fixo da empresa é de R$ 5500,00. Com base nessa situação, analise os itens que seguem.

I. O problema tem duas variáveis: a quantidade de caixas produzidas, que pode ser denotado por x e o custo total da produção que pode ser denotado por C(x).

II. O problema tem como variáveis dependentes a quantidade de caixas médias produzidas, a quantidade de caixas pequenas produzidas e o custo fixo e como variável independente o custo de produção.

III. O problema tem como variável dependente o custo de produção e como variáveis independentes a quantidade produzida de caixas pequenas, a quantidade produzida de caixas média e a quantidade produzida de caixas grandes.

Assinale a alternativa correta.


Alternativas:

  • a)

    Apenas o item I está correto.

  • b)

    Apenas o item II está correto.

  • c)

    Apenas o item III está correto.

  • d)

    Apenas os itens I e II estão corretos.

  • e)

    Apenas os itens I e III estão corretos.

4)

 Uma função de duas variáveis é uma regra que associa a cada par ordenado de números reais (x, y)  de um conjunto D um único valor real, denotado por f(x, y).O conjunto D é denominado domínio de f e sua imagem é o conjunto de valores possíveis de f .

Com base nessas informações, analise a função

f open parentheses x comma y close parentheses equals square root of 3 x plus y end root

Assinale a alternativa que contém o domínio da função.


Alternativas:

  • a)

     D equals open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses element of straight real numbers squared vertical line y greater or equal than 3 x close curly brackets

  • b)

     D equals open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses element of straight real numbers squared vertical line y greater than 3 x close curly brackets

  • c)

     D equals open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses element of straight real numbers squared vertical line y greater or equal than negative 3 x close curly brackets

  • d)

     D equals open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses element of straight real numbers squared vertical line y greater than negative 3 x close curly brackets

  • e)

     D equals open curly brackets open parentheses x comma y close parentheses element of straight real numbers squared vertical line y not equal to negative 3 x close curly brackets

5)

Se T(x,y) for a temperatura em um ponto (x,y) sobre uma placa delgada de metal no plano , então as curvas de nível de T são chamadas de curvas isotérmicas. Todos os pontos sobre tal curva têm a mesma temperatura. Suponha que uma placa ocupa o primeiro quadrante e T(x,y) = x + y.Com base nessas afirmações, analise os itens que seguem.

I. Quando T = 1 temos uma curva de nível cujo esboço é uma reta.

II. O domínio da função T(x,y) é D equals open curly brackets left parenthesis x comma y right parenthesis right parenthesis element of straight real numbers squared vertical line x not equal to negative y close curly brackets.

III. Uma formiga, inicialmente em (1, 4), anda sobre a placa de modo que a temperatura ao longo de sua trajetória permanece constante, logo podemos afirmar que a temperatura ao longo de sua trajetória é 5.

Assinale a alternativa correta.


Alternativas:

  • a)

    Apenas o item I está correto.

  • b)

    Apenas os itens I e III estão corretos.

  • c)

    Apenas os itens I e II estão corretos.

  • d)

    Apenas os itens II e III estão corretos.

  • e)

    Os itens I, II e III estão corretos.

 
 ATIVIDADE RESOLVIDA
 
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